Get Latest Updates Automatically

Sáng tạo Toán học - Rèn luyện kỹ năng dự đoán, tưởng tượng dựa vào hình vẽ

Trừu tượng hóa, là sự suy nghĩ nhằm tách một số tính chất chung của các đối tượng (quan hệ) ra khỏi những tính chất khác của chúng để đồng nhất chúng trong một mục đích nghiên cứu nhất định.

1. Cơ sở xác định biện pháp
Theo tâm lý học, kết quả của tư duy thể hiện trong phán đoán. Nhờ phán đoán người ta phát hiện ra cái mới. Nếu ta nhìn lại quá trình hình thành toán học ta thấy một dãy các dự đoán. Nếu không có dự đoán thì không có chứng minh vì dự đoán cho ta điều mà ta muốn chứng minh. Hơn nữa, mục đích dạy học hiện nay là giúp cho HS tự xây dựng kiến thức trong học tập và xa hơn nữa là đào tạo ra những con người biết phát hiện vấn đề trong thực tiễn hoạt động của mình. Việc dạy học như thế phải tiến tới phản ánh ở mức độ nào đó quá trình hình thành các khái niệm chứ không đơn thuần trình bày lại chúng khi chúng đã hoàn chỉnh.
Qua nội dung nói trên ta thấy trong dạy toán chứng minh định lí, bài toán hình học thì kỹ năng dự đoán, tưởng tượng dựa vào hình vẽ là rất cần thiết. Các em có thể dựa vào hình vẽ rút ra dự đoán về mối liên hệ giữa cái đã cho và cái cần tìm một cách trực tiếp hoặc thông qua đối tượng khác. Khi các em có dự đoán đúng thì dự đoán ấy có thể là nội dung của một định lí hoặc dự đoán ấy vạch đường cho HS đi chứng minh bài toán.
Song GV cũng phải rèn luyện kỹ năng tưởng tượng dựa vào hình vẽ cho HS. Hình vẽ là cái cụ thể, dựa vào cái cụ thể để thấy được bản chất của cái trừu tượng. Điều này giúp HS tránh được sai lầm khi nghiên cứu những đối tượng có hình dạng thay đổi nhưng tính chất không thay đổi. Cụ thể, khi HS học "Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau". Theo định nghĩa này ta thấy định nghĩa hình thoi là một định nghĩa trừu tượng, ta không thể vẽ được tất cả các hình thoi mà chỉ vẽ được một số hữu hạn hình thoi. Để hiểu định nghĩa trên thì HS cần dựa vào một hình cụ thể tưởng tượng ra bản chất của hình thoi "là tứ giác" và "có bốn cạnh bằng nhau".
2. Nội dung của biện pháp
- Để dạy cho HS biết dự đoán, cần tập luyện cho HS các phương tiện dự đoán, đó là các thao tác tư duy (phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, …)
- GV cần khai thác nội dung SGK, tận dụng các cơ hội thích hợp để dạy dự đoán định lí trước khi chứng minh nó. Và trước khi chứng minh hãy tiến hành dạy HS tìm đường lối chứng minh.
- Trong việc dạy học giải bài tập chú trọng sưu tầm các bài toán thuộc loại tìm tòi.
- Trong việc dạy học định lí chú trọng kỹ năng quan sát hình vẽ vì HS có thể dựa vào hình vẽ để rút ra dự đoán.
- Để rèn luyện kỹ năng tưởng tượng cho HS thì GV nên tận dụng từng cơ hội giúp HS thấy được tính chất tổng quát của đối tượng nghiên cứu. Những đối tượng đó chính là những đối tượng có hình dạng thay đổi.
3. Yêu cầu của biện pháp
Để rèn luyện kỹ năng trên vào giải toán HS cần:
- Đọc kỹ đề, hiểu được bản chất của khái niệm mà đề bài cho.
- Vẽ hình của một bài toán thật chính xác và tổng quát.
- Tập trung quan sát vẽ hình ở nhiều góc độ để thấy được mối liên hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm một cách trực tiếp trên hình hoặc thông qua đối tượng khác.
- Cần tập trung tìm ra các dấu hiệu bản chất, loại bỏ những dấu hiệu ngẫu nhiên không bản chất.
- Thực hiện vẽ hình từng bước đối với bài toán có nhiều phần nhằm hạn chế sự phân tán của HS khi quan sát hình vẽ.

Sáng tạo Toán học - Rèn luyện kỹ năng đọc hiểu và vẽ hình của định lí, bài toán

Lứa tuổi học sinh là lứa tuổi có nhiều sự thay đổi đột ngột về thể chất, tâm sinh lý. Các em tự cho mình là người đã trưởng thành và thích làm những việc giống như người trưởng thành. Ở giai đoạn này các em cũng có sự thay đổi về ghi nhớ, tư duy, chú ý, ...

1. Cơ sở của các biện pháp
-Tìm hiểu nội dung của một bài toán rất quan trọng. Để giải được một bài toán trước hết phải hiểu đề bài, đồng thời còn phải hứng thú đối với bài toán đó. Vì vậy người GV còn chú ý gợi động cơ, khêu gợi trí tò mò hứng thú của HS và giúp các em hiểu bài toán phải giải. Phải tìm hiểu bài toán một cách tổng thể để bước đầu tìm hiểu bài toán tránh vội vàng đi ngay vào chi tiết. Phải biết trong bài toán cái gì đã cho, cái gì chưa biết? Có mối liên hệ nào giữa cái phải tìm và cái đã cho? Trong quá trình tìm hiểu bài toán nên sử dụng một lời khuyên có ích của một nhà giáo nổi tiếng “Hãy thay cái được định nghĩa bằng cái định nghĩa”. Chẳng hạn nếu bài toán cho ta tam giác ABC cân tại A thì điều đó có nghĩa là AB = AC hoặc    hoặc AH vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác, vừa là đường trung trực, vừa là đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC. Trong tất cả những hiểu biết ấy ta sẽ lựa những thông tin có ích, tức là những thông tin gần gũi với KL  giúp ta đi được con đường ngắn nhất từ GT đến KL. Biểu hiện đầu tiên của việc hiểu rõ bài toán là tóm tắt đầu bài thông qua việc viết đúng GT, KL. Biểu thứ hai của việc hiểu rõ đầu bài là biết vẽ hình đúng chính xác.
-Đối với bài toán hình học thì việc vẽ hình đặc biệt quan trọng. Nói chung muốn chứng minh được một bài toán hình học thì cần phải có hình vẽ. Hình vẽ giúp HS hiểu rõ bài toán hơn, các em dễ tìm thấy mối liên hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm. Những bài toán cho bằng lời văn, vấn đề quan trọng trước hết là hình vẽ, hình vẽ phải chính xác, có tính chất tổng quát và dễ hình dung theo yêu cầu của đề bài. Vẽ hình đúng theo yêu cầu của đề bài đòi hỏi phải hiểu đúng đề bài và nắm vững những khái niệm liên quan. Vẽ hình sai thì không nói đến việc giải bài toán đã cho. Nếu HS được rèn luyện tốt kỹ năng vẽ hình thì đó là thuận lợi ban đầu rất quan trọng để giải bài toán.
2. Nội dung của biện pháp
Để rèn luyện kỹ năng đọc hiểu và vẽ hình một định lí, bài toán hình học GV cần lưu ý HS những điểm sau:
-Yêu cầu HS trước khi giải một bài toán phải đọc đi, đọc lại nhiều lần để biết nội dung của bài toán. Biết được đề bài đã cho cái gì? Ta cần chứng minh cái gì?
- GV phải rèn luyện cho HS các kỹ năng vẽ hình trên giấy kẻ ô vuông, vẽ không dùng dụng cụ (chỉ dùng viết), vẽ hình bằng dùng dụng cụ (thước thẳng, êke, compa, …).
   +Trên giấy kẻ ô vuông GV có thể cho HS thực hành vẽ đường thẳng đi qua hai đỉnh của ô vuông, góc có đỉnh tại đỉnh của ô vuông, đa giác có các đỉnh tại đỉnh của ô vuông, vẽ góc (vuông, nhọn, tù), vẽ hai đường thẳng vuông góc, hai đường thẳng song song, vẽ tam giác (vuông, cân, đều), vẽ tứ giác có hai đường chéo vuông góc, vẽ hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông, … Thực hành trên giúp HS vận dụng, củng cố được khái niệm về tính chất của các hình.
  +Cùng với việc vẽ hình trên giấy kẻ ô vuông GV cần rèn luyện cho HS kỹ năng vẽ hình không dùng dụng cụ để các em có được hình vẽ của bài toán một cách nhanh chóng. Bởi vì có những bài toán nếu các em không vẽ phác trước đến khi thực hiện vẽ trên bài làm (đòi hỏi chính xác) thì các em sẽ gặp khó khăn. Để vẽ phác được hình tương đối chính xác các em phải biết ước lượng: độ dài của một đoạn thẳng, số đo của một góc, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, … GV có thể rèn luyện cho HS vẽ phác một đoạn thẳng có độ dài cho trước, vẽ trung điểm của đoạn thẳng có độ dài cho trước, vẽ góc có số đo cho trước và vẽ tia phân giác của góc đó, vẽ  hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, vẽ tam giác xác định trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp, … để các em hình thành kỹ năng vẽ phác hình của một bài toán.
  +Bên cạnh hai kỹ năng trên thì vẽ hình bằng dụng cụ (thước thẳng, compa, êke, …) lại càng quan trọng hơn. Trong một bài toán hình học, nếu có một hình vẽ chính xác góp phần giúp HS thấy mối liên hệ giữa cái đã cho và cái cần tìm, các em có thể thấy được hướng giải quyết bài toán từ hình vẽ. Hơn nữa, trong khi trình bày lời giải một bài toán hình học cần có một hình vẽ chính xác. Để có một hình vẽ có độ chính xác cao thì HS cần sử dụng dụng cụ để vẽ. Do đó GV cần rèn luyện cho HS kỹ năng vẽ hình bằng dụng cụ, kỹ năng này cần rèn luyện thường xuyên và có tính chất lâu dài. Trong quá trình dạy GV có thể rèn luyện cho HS dùng dụng cụ để vẽ các hình tương tự như phần vẽ phác.
3. Yêu cầu của biện pháp
-HS cần phải tích cực thực hiện những yêu cầu của GV bằng những việc làm cụ thể sau:
  +Phải đọc kỹ đề bài một lượt, phải hiểu rõ các định nghĩa, tất cả các danh từ trong bài nhằm hoàn toàn hiểu ý bài toán đó.
  +Phân biệt cho được GT, KL của bài toán sau đó dựa vào điều đã cho trong GT, KL để vẽ hình; dùng chữ để ký hiệu những đường, điểm, các giao điểm, …
  +Dựa vào bài toán và ký hiệu trong hình vẽ để viết GT và KL, thay những danh từ toán học trong bài bằng các ký hiệu.
  +Kỹ năng vẽ hình phải được rèn luyện thường xuyên và lâu dài.
-Khi vẽ hình cần lưu ý:
  +Hình vẽ phải mang tính chất tổng quát không nên vẽ hình trong những trường hợp đặc biệt.
  +Hình vẽ phải rõ ràng, chính xác, dễ nhìn thấy những quan hệ và tính chất hình học.
  +Hình vẽ cần giữ đúng điều kiện mà giả thiết cho, không nên bỏ sót một điều gì.
-Khi mới bắt đầu học hình học thì cần vẽ hình bằng dụng cụ, dần dần mới tập vẽ phác. Cần phải vẽ phác hình vẽ trước khi vẽ hình chính xác.
-Khi làm bài cần phải dùng dụng cụ để có hình vẽ chính xác.
-Khi ký hiệu hình vẽ phải có nội dung dễ nhớ, các ký hiệu (dùng chữ) phải tuân theo thứ tự của đề bài, tránh lẫn lộn.
-Đa số các bài toán hình học thì hình vẽ được vẽ từng bước theo thứ tự đề bài cho. Tuy nhiên có những bài toán ta thực hiện các bước vẽ không tuân theo thứ tự (những yếu tố cho trước sẽ vẽ sau) thì việc vẽ hình sẽ trở nên đơn giản hơn. Do đó cần phân biệt đường nào cần vẽ trước, đường nào cần vẽ sau.

Sáng tạo Toán học - Gợi động cơ chứng minh hình học cho học sinh

Toán học là môn học có tính trừu tượng rất cao. Nó có nguồn gốc từ thực tiễn và phục vụ lại cho nhu cầu của thực tiễn. Trong toán học luôn đảm bảo sự thống nhất giữa cụ thể và trừu tượng.

1. Cơ sở xác định biện pháp
Mỗi con người khi muốn làm việc gì cần có động cơ cụ thể thì mới có kết quả tốt. Phải tự đặt ra cho mình những câu hỏi: Tại sao phải làm việc ấy? Làm việc ấy nhằm mục đích gì? ... Có như vậy khi làm việc ta mới dốc sức toàn tâm, toàn ý mà làm. Đối với việc dạy chứng minh định lí, bài toán cũng vậy việc hình thành động cơ chứng minh cho HS có vai trò rất quan trọng. Nó phát huy tính tự giác, tích cực học tập của HS. Ở bậc THCS những bài toán chứng minh đầu tiên của HS thường chưa thấy rõ sự cần thiết khi chứng minh một mệnh đề toán học. Dần dần HS quen hơn với yêu cầu chứng minh, nhưng không phải tất cả các em đều hiểu rõ một cách chính xác lý do của việc làm này, nhiều người vẫn không hết băn khoăn tại sao phải tốn công sức chứng minh nhiều điều thấy hiển nhiên trên hình vẽ hoặc hiển nhiên qua nhiều lần thực hành. Để khắc phục tình hình này cần vận dụng những cơ hội khác nhau để gợi động cơ cho hoạt động chứng minh một định lí.
2. Nội dung biện pháp
Để gợi động cơ chứng minh một định lí, bài toán cho HS thì GV có thể làm như sau:
- Cần cho HS thấy những điều thấy hiển nhiên trên hình vẽ thật ra chỉ là một hình vẽ. Nếu ta chịu khó thử thì chỉ là một số hữu hạn hình vẽ.
- GV cần cho HS hiểu kết luận rút ra được từ thực hành (đo góc, đo độ dài, ...) cũng chỉ là một kết luận được rút ra từ một số hữu hạn lần thực hành và chưa chắc nó đúng trong mọi trường hợp.                               - Vấn đề đặt ra ở đây là một mệnh đề tổng quát được gọi là đúng thì phải đúng cho mọi trường hợp. Do đó ta không thể quan sát thực hành trực tiếp trên vô số trường hợp mà phải đi chứng minh nó đúng cho mọi trường hợp.
3 Yêu cầu của biện pháp
HS cần biết:
- Quan sát trên hình vẽ hay thực hành để rút ra một nhận xét thì chưa chắc chắn đó là một nhận xét đúng.
- Một mệnh đề toán học được gọi là đúng thì phải đúng với mọi trường hợp.
- Để chứng minh một định lí thì ta phải chứng minh một cách tổng quát, chứng minh nó đúng cho mọi trường hợp.
- Chứng minh được định lí giúp các em nhớ rất kỹ nội dung của định lí và là cơ sở để các em hình thành kỹ năng chứng minh một bài toán sau này.

Sáng tạo Toán học - Bồi dưỡng năng lực chứng minh hình học cho học sinh

Trong thực tiễn cuộc sống, toán học giữ vị trí rất quan trọng. Những tri thức và kĩ năng toán học cùng với những phương pháp làm việc trong toán học trở thành công cụ để học tập những môn học khác trong nhà trường; là công cụ của nhiều ngành khoa học khác nhau, là công cụ để tiến hành những hoạt động trong đời sống thực tế. Vì vậy toán học là một thành phần không thể thiếu của nền văn hóa phổ thông của con người mới.

Từ thuở xa xưa, người ta đã biết vận dụng toán học để xây dựng những công trình lớn như: Kim Tự Tháp, vườn treo Babilon, … Người Ai Cập cổ đại đã biết được một tam giác có độ dài ba cạnh là 3, 4, 5 thì tam giác đó là tam giác vuông và định lí này được áp dụng rộng rãi trong việc xây dựng nhà cửa. Ngày nay với sự phát triển như vũ bão của khoa học kỹ thuật ta càng thấy tầm quan trọng của toán học, có thể nói nó là nền móng cho nhiều ngành khoa học khác như Vật lý, Hóa học, Sinh học, …
Ngoài ra môn Toán còn góp phần phát triển nhân cách con người, có tác dụng góp phần phát triển năng lực, trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóa, … rèn luyện những đức tính phẩm chất của người lao động như tính cẩn thận, chính xác, tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ.
Ngay từ ở cấp tiểu học, các em đã được làm quen nhiều về hình học, đã biết được một số hình như: tam giác, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông, … học sinh đã biết phân biệt, biết vẽ và nhận dạng ra các hình đó. Đến cấp Trung học Cơ sở một lần nữa các em lại được tìm hiểu về nó và đặc biệt chương trình toán 8 đã dành riêng cho các em một chương để tìm hiểu kỹ hơn đó là chương I -  Tứ Giác nhưng với nội dung và kiến thức được mở rộng, nâng cao hơn nhất là vấn đề giải toán chứng minh. Mặt khác đối với bộ môn hình học thì vấn đề dạy cho học sinh biết chứng minh một số bài tập, định lí và tự chứng minh được bài tập cho thật tốt lại là vấn đề không đơn giản đối với các em. Thế thì làm sao học sinh có thể giải tốt bài tập, học tốt môn này, … nhiều vấn đề được đặt ra như vậy.
Là những người trực tiếp giảng dạy cho các em, chúng tôi phải nghiên cứu, đào sâu kiến thức, tìm ra những phương pháp thích hợp để giúp cho các em đạt được hiệu quả tối ưu trong học tập, đồng thời phải đổi mới phương pháp dạy học hướng vào học sinh, biết thiết kế, tổ chức hướng dẫn các hoạt động giúp học sinh tự phát hiện và giải quyết vấn đề, tìm lời giải nhanh gọn, hợp lí, đúng, khoa học. Chính vì vậy mà chúng tôi đặc biệt quan tâm và quyết định chọn đề tài “Bồi dưỡng năng lực chứng minh hình học cho học sinh” để nghiên cứu. Đề tài này nhằm giúp học sinh vững vàng hơn trong phát hiện và giải toán chứng minh trong giai đoạn khởi đầu. Qua đó cũng nhằm nâng cao chất lượng dạy và học trong nhà trường để tạo ra thế hệ trẻ năng động, sáng tạo, hội tụ đầy đủ năng lực và phẩm chất góp phần đưa đất nước đi lên, một mặt sẽ đem lại niềm vui hứng thú hơn trong học tập, giúp các em yêu thích hơn đối với môn học này.

Cách giải bài toán “Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai”

Sau đây, Sangtao24 xin trình bày các bước giải bài toán “Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai” trong chương trình Đại số 10 – Ban cơ bản:
Bài toán: Lập bản biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = ax^2 + bx + c
Bài giải:
+ Tập xác định : D = R
+ Đỉnh I = (-b/2a; f(-b/2a))
+ Trục đối xứng x = -b/2a
+ Bảng biến thiên:

+ Điểm đặc biệt
A (0; c), A’(-b/a; c)
B(x1; 0), C(x2; 0) (nếu có), (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax^2 + bx + c = 0. Theo Sangtao24 thì việc lập bảng biến thiên và sẽ đồ thị hàm số bậc hai không cần xác định hai điểm B và C ?!)
+ Đồ thị

Theo Sangtao24 thì các bước giải bài toán “Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai” là khá hoàn thiện so với các bước giải tron SGK Đại số 10 – Ban cơ bản. Đây cũng là nội dung tham khảo tốt cho việc thay đổi SGK của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo.

Bài toán quỹ tích các trung điểm M của dây cung AB khi điểm B di động trên đường tròn

Sangtao24 – Sáng tạo Toán học xin trình bày dự đoán và cách vẽ bài toán: Bài 98 trang 105 SGK Toán 9 tập hai. Cho đường tròn (O) và một điểm A cố định trên đường tròn. Tìm quỹ tích các trung điểm M của dây cung AB khi điểm B di động trên đường tròn đó.

+Dự đoán. Khi AB là đường kính thì điểm M trùng với điểm O. Khi điểm B trùng với điểm A thì điểm M cũng trùng với điểm A. Mặt khác, ta có định lý: “Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy”. Do đó OM vuông góc với AB hay tam giác AOM vuông tại M. Vậy, quỹ tích các trung điểm M của AB khi điểm B thay đổi là đường tròn đường kính AO.

+Cách vẽ. Trước hết ta vẽ đường tròn tâm O bán kính OA, dựng điểm B thuộc đường tròn, điểm M là trung điểm của AB, nối OM, vẽ góc vuông AMO, tao vết cho điểm M, tạo nút điều khiển cho điểm B, ta thu được hình cần vẽ.

Corsair ra mắt bộ nguồn mới của mình mang tên Corsair RMx Series

Gold-certified efficiency with extremely tight voltage regulation to deliver superior performance.
Corsair RMx series power supplies give you extremely tight voltage control, quiet operation, Gold-certified efficiency, and a fully modular cable set. Built with all Japanese 105°C capacitors, they’re a great choice for high performance PCs where reliability is essential. 80 PLUS Gold efficiency reduces operating cost and excess heat, and Zero RPM fan mode ensures virtual silence at low and medium loads. And, the fully modular DC cables make builds and upgrades easy, with clean, great-looking results.

Suggested Retail Prices:
o 550W - $109.99
o 650W - $119.99
o 750W - $129.99
o 850W - $149.99
o 1000W - $179.99
Availability
The RMx series of computer power supplies will be available from Corsair's worldwide network of authorized retailers and distributors in September 2015.
Source Sum